Las ecuaciones de Maxwell y el operador de Dirac sobre dominios con fronteras irregulares

Abstract

El análisis de Clifford, usando álgebras de Clifford nombradas así después de William Kingdon Clifford, es el estudio de operadores del tipo Dirac en análisis y geometría. El ejemplo más básico de un operador de Dirac es el operador de Cauchy Riemann. En 3 y 4 dimensiones el análisis de Clifford es llamado en ocasiones análisis quaterniónico. Por más de un siglo, el análisis cuaterniónico ha probado ser una eficiente herramienta para tratar una amplia clase de problemas de frontera en casi todas las ramas de la física y la ingeniería, por ejemplo, en electromagnetismo, óptica, elasticidad, dinámica de fluidos, hidroacústica y geofísica. En particular, en una serie de trabajos, se ha utilizado el análisis cuaterniónico para estudiar las ecuaciones de Maxwell armónicas en el tiempo (monocromáticas). Deben mencionarse también varios trabajos dirigidos a la investigación de las ecuaciones de Helmholtz y de Beltrami a partir de un enfoque hipercomplejo y explotando la posibilidad de factorización de estos operadores (al igual que lo fuera para el operador de Laplace) en términos del operador de Dirac. Sin embargo, debe hacerse notar que el estudio de problemas de frontera de estos modelos físicos ha estado esencialmente confinado a dominios con fronteras suficientemente suaves y dominios de Lipschitz en el peor de los casos. Resulta motivante e importante salir del marco que imponen estas restricciones geométricas por el interés que despiertan, tanto desde el punto de vista puramente matemático como del asociado a las diversas aplicaciones que puedan generarse a partir de la búsqueda de sus soluciones. La naturaleza geométrica de las fronteras de los dominios del mundo real suele ser mucho más complicada que la asumida a través de los modelos clásicamente considerados en la literatura. En esta propuesta se debilitan sustancialmente estas restricciones geométricas y se ofrecen alternativas para el estudio de problemas de frontera asociados a las ecuaciones de Maxwell, Helmholtz y Beltrami. El presente trabajo se resume en 16 publicaciones en revistas internacionales, 11 de las cuales son revistas indexadas por el ISI-Web of Science con alto indice de impacto y publicadas entre los años 2014 y 2015, fruto de la colaboración de los autores principales de la propuesta con especialistas de Bélgica, México, Portugal, Rusia y Turquía. El resultado presentado tiene antecedentes en las investigaciones del Grupo Cubano en Análisis Complejo, Hipercomplejo y de Clifford, premiadas por la ACC, en los años 2000, 2003, 2006, 2009 y 2012, pero el mismo constituye una contribución significativamente nueva con una importante incursión en problemas de las ciencias físicas, mostrando una vez más las posibilidades de aplicación de las técnicas elaboradas en el Análisis de Clifford.